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21. Juli 2013 Mai 13, 2022
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Unwahrscheinliche Odds beim Texas-Hold\’em-Poker

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admin PokerOlymp Author
13. Mai 2022 · 9 Minuten Lesezeit

Wie wahrscheinlich ist Set-over-Set, wie oft trifft man einen Bad-Beat-Jackpot, wie wahrscheinlich ist Quads-over-Quads und wie oft bekomme ich Asse direkt hintereinander?

Dieser Artikel betrachtet die etwas unwahrscheinlicheren Ereignisse beim Texas-Hold’em und gibt die Wahrscheinlichkeiten dafür an.

Asse, Könige und Damen

Werfen wir zunächst einen Blick auf die hohen Paare. Asse zum Beispiel bekommt man nicht all zu häufig gedealt. Alle 221 Hände bekommt man diese Hand. Dann und wann kommt es auch vor, dass gleich zwei Spieler Asse bekommen. Im Schnitt alle 154 Mal hat einer der Gegner ebenfalls Asse, wenn man an einem Tisch mit 9 Spielern selbst Asse hält.

Wie häufig tritt man mit Königen gegen Asse an? Weit häufiger, als manche meinen! Hat man 8 Gegner am Tisch, hat jedes 26. Mal einer von ihnen Asse, wenn man Könige hat.

Noch schlimmer ist es mit Damen – bei 8 Gegnern hat jedes 13. Mal einer von ihnen Asse oder Könige auf der Hand.

Folgende Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeiten für einige Ereignisse an. Zusätzlich sind die Odds angegeben, um die kleinen Prozent-Zahlen besser einschätzen zu können. In der letzten Spalte wird auf die Erklärung der Berechnung in den Fußnoten verlinkt.

EreignisWahrscheinlichkeitOdds
Preflop Asse bekommen0,4525%1:220B1
Wenn man Asse hat, hat der Gegner ebenfalls Asse (HU-Tisch)0,0816%1:1.224B2
Wenn man Asse hat, hat ein Gegner ebenfalls Asse (9 Spieler)0,6512%1:153B3
Wenn man Könige hat, hat der Gegner Asse (HU-Tisch)0,4898%1:203B4
Wenn man Könige hat, hat ein Gegner Asse (9 Spieler)3,8518%1:25B5
Wenn man Damen hat, hat der Gegner Asse oder Könige (HU-Tisch)0,9796%1:101B6
Wenn man Damen hat, hat ein Gegner Asse oder Könige (9 Spieler)7,5732%1:12B7

Sets

Wie oft flopt man ein Set? Diese Wahrscheinlichkeit sollten die meisten ambitionierten Pokerspieler im Kopf haben: in rund 12 Prozent der Fälle trifft man mit einem Paar ein Set im Flop.

Zum gefürchteten Set-Over-Set kommt es auch nicht so selten: Wenn zwei Spieler ein Paar halten und den Flop sehen, dann treffen beide gleichzeitig in rund 1 Prozent aller Fälle ihr Set.

An einem Heads-Up-Tisch sieht man rund alle 40.000 Hände eine Set-Over-Set-Situation. Je mehr Spieler am Tisch sind, desto wahrscheinlicher wird ein solches Ereignis jedoch. An einem 9-Spieler-Tisch sieht man eine Set-Over-Set-Hand auf dem Flop rund alle 1.200 Hände (wenn alle Spieler immer mit ihren Paaren den Flop sehen).

Dass drei Spieler gleichzeitig ein Set am Flop treffen, ist jedoch deutlich unwahrscheinlicher. An einem 9-Spieler-Tisch muss man schon über 160.000 Hände spielen, um so ein Ereignis im Schnitt einmal zu sehen.

EreignisWahrscheinlichkeitOdds
Mit einem Paar ein Set im Flop treffen11,7551%1:8B8
Ein Paar bekommen und ein Set treffen0,6915%1:144B9
Wenn zwei Spieler ein Paar haben, treffen beide ein Set im Flop1,0176%1:97B10
Zwei Spieler bekommen ein Paar und treffen ein Set im Flop (HU Tisch)0,0024%1:42.305B11
Zwei Spieler bekommen ein Paar und treffen ein Set im Flop (6 Spieler)0,0355%1:2.819B12
Zwei Spieler bekommen ein Paar und treffen ein Set im Flop (9 Spieler)0,0851%1:1.174B13
Drei Spieler bekommen ein Paar und treffen ein Set im Flop (3 Spieler)0,0000%1:13.960.821B14
Drei Spieler bekommen ein Paar und treffen ein Set im Flop (6 Spieler)0,0001%1:698.040B15
Drei Spieler bekommen ein Paar und treffen ein Set im Flop (9 Spieler)0,0006%1:166.199B16

Quads

Quads treffen ist gar nicht so schwer. Mit einem Paar auf der Hand trifft man in rund 0,8 Prozent der Fälle bis zum River Quads. Da ist es schwieriger, vor dem Flop Asse zu bekommen.

Quads über Quads sind jedoch schon deutlich seltener. An einem HU-Tisch zum Beispiel kommt so etwas nur rund alle 11 Millionen Hände vor. An einem Tisch mit 9 Spielern schon wieder etwas häufiger – rund alle 300.000 Hände.

EreignisWahrscheinlichkeitOdds
Mit einem Paar Quads bis zum River treffen0,8163%1:122B17
Wenn zwei Spieler ein Paar haben, treffen beide Quads bis zum River0,0026%1:38.915B18
Zwei Spieler bekommen ein Paar und treffen Quads bis zum River (HU Tisch)0,00000008%1: 11.255.911B19
Zwei Spieler bekommen ein Paar und treffen Quads bis zum River (6 Spieler)0,0001%1:750.393B20
Zwei Spieler bekommen ein Paar und treffen Quads bis zum River (9 Spieler)0,0003%1:312.663B21

Flushes

Einen Flush floppen ist in etwa so schwer, wie mit einem Paar Quads bis zum River treffen – sprich, es kommt zwar dann und wann mal vor, aber man sollte nicht darauf bauen.

Dass zwei oder drei Spieler einen Flush im Flop treffen, kommt erstaunlich häufig vor, wenn die Spieler immer mit allen gleichfarbigen Karten den Flop sehen. An einem 9-Spieler-Tisch zum Beispiel treffen im Schnitt alle 541 Hände zwei Spieler einen Flush im Flop.

EreignisWahrscheinlichkeitOdds
Mit zwei suited Karten einen Flush im Flop treffen0,8418%1:118B22
Wenn zwei Spieler suited Karten haben, treffen beide einen Flush im Flop0,4857%1:205B23
Wenn drei Spieler suited Karten haben, treffen alle drei einen Flush im Flop0,2306%1:433B24
Zwei Spieler bekommen suited Karten und treffen einen Flush im Flop (HU Tisch)0,0051%1:19.490B25
Zwei Spieler bekommen suited Karten und treffen einen Flush im Flop (6 Spieler)0,0770%1:1.298B26
Zwei Spieler bekommen suited Karten und treffen einen Flush im Flop (9 Spieler)0,1847%1:540B27
Drei Spieler bekommen suited Karten und treffen einen Flush im Flop (6 Spieler)0,0012%1:85.758B28
Drei Spieler bekommen suited Karten und treffen einen Flush im Flop (9 Spieler)0,0035%1:28.585B29

Pechsträhnen

Der Spieler neben uns beschwert sich – er hat schon über 200 Hände kein einziges Paar preflop bekommen. Klingt das realistisch? Nein! Die Wahrscheinlichkeit dafür liegt bei rund 1 zu 180.000.

Auch wenn jemand jammert, dass er seit 1.000 Händen jedes Paar spielt und kein einziges Set getroffen hat, erzählt der derjenige eine sehr unwahrscheinliche Geschichte. Die Wahrscheinlichkeit, über 1.000 Hände kein Set zu treffen, obwohl man jedes Paar zum Flop bringt, liegt bei unter 0,1%.

EreignisWahrscheinlichkeitOdds
Über 50 Hände kein Paar preflop bekommen4,8256%1:20B30
Über 100 Hände kein Paar preflop bekommen0,2329%1:428B31
Über 200 Hände kein Paar preflop bekommen0,0005%1:184.410B32
Über 100 Hände kein Set treffen49,9635%1:1B33
Über 500 Hände kein Set treffen3,1136%1:31B34
Über 1000 Hände kein Set treffen0,0969%1:1.031B35
Über 9 Hände weder ein Ass noch ein Paar preflop bekommen17,4226%1:5B36
Über 25 Hände weder ein Ass noch ein Paar preflop bekommen0,7798%1:127B37
Über 100 Hände weder Buben oder besser, noch Ass-König preflop bekommen4,6746%1:20B38

Royal Flushes

Einen Royal Flush bekommt man relativ selten, die meisten Spieler können sich an sämtliche Royal Flushes, die sie je bekommen haben, erinnern.

Aber dass man einen Royal Flush am eigenen Tisch sieht, ist schon wieder deutlich wahrscheinlicher. An einem 9-Mann-Tisch sollte man rund alle 2.500 Hände einen Royal Flush sehen, wenn alle Spieler mit zwei gleichfarbigen Karten über Zehn den Flop sehen.

EreignisWahrscheinlichkeitOdds
Das Board zeigt einen Royal Flush0,0002%1:649.739B39
Das Board zeigt auf dem River 3 Karten zu einem Royal Flush1,6637%1:59B40
Ein Spieler macht einen Royal Flush (9 Spieler am Tisch)0,0276%1:3.628B41
Über 100 Hände mindestens einen Royal Flush am Tisch sehen (9 Spieler am Tisch)2,7184%1:36B42
Über 2500 Hände mindestens einen Royal Flush am Tisch sehen (9 Spieler am Tisch)49,7922%1:1B43
Über 100 Hände zwei oder mehr Royal Flushes am Tisch sehen (9 Spieler am Tisch)0,0369%1:2.708B44

Bad-Beat-Jackpots

Viele Live- und Online-Anbieter lassen sogenannte Bad-Beat-Jackpots in ihren Spielen laufen. Verliert man mit einer besonders starken Hand, bekommt man einen signifikanten Anteil dieses Jackpots.

Viele Bad-Beat-Jackpots haben folgende Bedingung: Man muss mit Quad-Achten oder besser verlieren und sowohl der Verlierer als auch der Sieger der Hand müssen beide Hole-Cards benutzen. Der Mathematiker Brian Alspach hat in einer ziemlich umfangreichen Rechnung die genauen Wahrscheinlichkeiten für diese Art von Bad-Beat-Jackpot ausgerechnet.

EreignisWahrscheinlichkeitOdds
Quads-Achten oder besser treffen und verlieren (HU-Tisch)0,0000%1:6.974.878B45
Quads-Achten oder besser treffen und verlieren (6 Spieler)0,0002%1:464.991B46
Quads-Achten oder besser treffen und verlieren (9 Spieler)0,0005%1:193.746B47
Über 1000 Hände so einen Bad Beat am Tisch sehen (9 Spieler)0,5148%1:193B48
Über 100.000 Hände so einen Bad Beat am Tisch sehen (9 Spieler)40,3180%1:1B49

Hintereinander

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, am selben Tisch direkt hintereinander exakt die selben Karten preflop zu bekommen? Nicht sonderlich hoch: weniger als 0,1% für eine einzelne Hand.

Spielt man jedoch ein paar hundert oder tausend Hände, wird dieses Ereignis immer wahrscheinlicher. Rund alle eintausend Händen sollte einem derartiges passieren.

Um zweimal hintereinander Asse zu bekommen, muss man im Schnitt 34.000 Hände spielen.

EreignisWahrscheinlichkeitOdds
Über 100 Hände mindestens einmal exakt die gleichen Karten hintereinander preflop bekommen7,1968%1:13B50
Über 1000 Hände mindestens einmal exakt die gleichen Karten hintereinander preflop bekommen52,9368%1:1B51
Über 100 Hände mindestens zweimal Asse direkt hintereinander bekommen0,2016%1:495B52
Über 1000 Hände mindestens zweimal Asse direkt hintereinander bekommen2,0157%1:49B53
Über 34.000 Hände mindestens zweimal Asse direkt hintereinander bekommen49,9927%1:1B54

Glückssträhnen

Wer schon etwas häufiger gespielt hat, kennt das Phänomen von Glückssträhnen: Man setzt sich an den Tisch und wird in wenigen Orbits mit guten Karten nur so zugekleistert. Hier einige Wahrscheinlichkeiten dazu:

EreignisWahrscheinlichkeitOdds
Über 9 Hände mindestens zweimal Asse preflop bekommen0,0722%1:1.385B55
Über 9 Hände mindestens dreimal Asse preflop bekommen0,0008%1:131.144B56
Über 9 Hände mindestens zweimal Asse oder Könige preflop bekommen0,2826%1:353B57
Über 9 Hände mindestens zweimal Buben oder besser oder Ass-König preflop bekommen2,8448%1:34B58
Über 100 Hände mindestens 10 Mal Buben oder besser oder Ass-König preflop bekommen0,0911%1:1.097B59
Über 100 Hände mindestens 5 Sets treffen0,0690%1:1.447B60

Wege das Deck zu mischen

Zum Abschluss noch ein paar Zahlen zum Mischen: In einem Heads-Up-Spiel gibt es über 1,4 Billionen unterschiedliche Deals. Mit mehr Spielern nimmt diese Zahl noch deutlich zu. Bei 9 Spielern sind es bereits fast eine Quadrilliarde unterschiedliche Deals – das ist eine Eins mit 27 Nullen.

Übertroffen wird diese Zahl nur noch von den verschiedenen Möglichkeiten, das gesamte Deck zu mischen. Das ist am Ende eine Zahl mit 68 Dezimalstellen.

EreignisMöglichkeiten
Anzahl unterschiedlicher Deals im Heads-Up1.390.690.501.200B61
Anzahl unterschiedlicher Deals im 6-Max1.411.633.731.355.660.000.000B62
Anzahl unterschiedlicher Deals im 9-Max874.314.668.608.292.000.000.000.000B63
Anzahl Möglichkeiten das Deck zu mischen80.658.175.170.943.900.000.000.000.000.000.000.000 000.000.000.000.000.000.000.000.000.000B64

Sämtliche in obigen Tabellen angegebenen Wahrscheinlichkeiten gelten unter der Bedingung, dass die involvierten Spieler erst dann folden, wenn sie mit ihrer Hand das gegebene Ereignis nicht mehr erreichen können.

Berechnungen

1 6/52c2

2 1/50c2

3 1 – ( (50c2 – 1) / 50c2 )^8

4 6/50c2

5 1 – ( (50c2 – 6) / 50c2 )^8

6 12/50c2

7 1 – ( (50c2 – 12) / 50c2 )^8

8 1 – 48c3 / 50c3

9 13 * 6 / 52c2 * (1 – 48c3 / 50c3)

10 2 * 2 * 46 / 48c3

11 13c3 * 4^3 / 52c3 * 9 / 49c2 * 6/47c2

12 13c3 * 4^3 / 52c3 * 6c2 * 9 / 49c2 * 6/47c2

13 13c3 * 4^3 / 52c3 * 9c2 * 9 / 49c2 * 6/47c2

14 13c3 * 4^3 / 52c3 * 9 / 49c2 * 6 / 47c2 * 3 / 45c2

15 13c3 * 4^3 / 52c3 * 6c3 * 9 / 49c2 * 6 / 47c2 * 3 / 45c2

16 13c3 * 4^3 / 52c3 * 9c3 * 9 / 49c2 * 6 / 47c2 * 3 / 45c2

17 48c3 / 50c5

18 44 / 48c5

19 13c2 * ( 4c2)^2 * 44 / 52c5 * 2 / 47c2 * 1 / 45c2

20 13c2 * ( 4c2)^2 * 44 / 52c5 * 6c2 * 2 / 47c2 * 1 / 45c2

21 13c2 * ( 4c2)^2 * 44 / 52c5 * 9c2 * 2 / 47c2 * 1 / 45c2

22 11c3 / 50c3

23 9c3 / 48c3

24 7c3 / 46c3

25 13c3 * 4 / 52c3 * 10c2 / 49c2 * 8c2 / 47c2

26 13c3 * 4 / 52c3 * 6c2 * 10c2 / 49c2 * 8c2 / 47c2

27 13c3 * 4 / 52c3 * 9c2 * 10c2 / 49c2 * 8c2 / 47c2

28 13c3 * 4 / 52c3 * 6c2 * 10c2 / 49c2 * 8c2 / 47c2 * 6c2 / 45c2

29 13c3 * 4 / 52c3 * 9c2 * 10c2 / 49c2 * 8c2 / 47c2 * 6c2 / 45c2

30 ( 1 – ( 13 * 6 ) / 52c2 )^50

31 ( 1 – ( 13 * 6 ) / 52c2 )^100

32 ( 1 – ( 13 * 6 ) / 52c2 )^200

33 ( 1 – 13 * 6 / 52c2 * (1 – 48c3 / 50c3) )^100

34 ( 1 – 13 * 6 / 52c2 * (1 – 48c3 / 50c3) )^500

35 ( 1 – 13 * 6 / 52c2 * (1 – 48c3 / 50c3) )^1000

36 ((1326 – 13 * 6 – 13 * 16)/1326)^9

37 ((1326 – 13 * 6 – 13 * 16)/1326)^25

38 ((1326 – 3 * 6 – 16)/1326)^100

39 4 / 52c5

40 5c3 * 47c2 * 4 / 52c5

41 4 / 52c5 + 5 * 4 * 47 / 52c5 * 9 * 45 / 47c2 + 5c3 * 47c2 * 4 / 52c5 * 9 * 1 / 47c2

42 1 – ( 1- prob. Above)^100

43 1 – ( 1- prob. Above)^2500

44 1 – BinomDist(1;100;prob. Above)

45 siehe Brian Alspach

46 siehe Brian Alspach

47 siehe Brian Alspach

48 1 – ( 1- prob. Above)^1000

49 1 – ( 1- prob. Above)^100000

50 1 – (1325 / 52c2)^(100-1)

51 1 – (1325 / 52c2)^(1000-1)

52 siehe Brian Alspach

53 siehe Brian Alspach

54 siehe Brian Alspach

55 BinomDist(7;9;(1326 – 6) / 1326;1)

56 BinomDist(6;9;(1326 – 6) / 1326;1)

57 BinomDist(7;9;(1326 – 2 * 6) / 1326;1)

58 BinomDist(7;9;(1326 – 4 * 6-16) / 1326;1)

59 BinomDist(90;100;(1326 – 4 * 6-16) / 1326;1)

60 BinomDist(95;100;1 – 13 * 6 / 52c2 * (1 – 48c3 / 50c3);1)

61 52c5 * 47c4 * 3 * 1

62 52c5 * 47c12 * 11 * 9 * 7 * 5 * 3 * 1

63 52c5 * 47c20 * 17 * 15 * 13 * 11 * 9 * 7 * 5 * 3 * 1

64 52!

Dieser Artikel erschien auf PokerOlymp am 21.07.2013.

Autor: Arved Klöhn.

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