Das Monty-Hall-Problem, oder auch “Ziegenproblem” ist beliebtes Rätsel aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeitstheorie und die Lösung lässt Viele zunächst etwas irritiert zurück.
In diesem Artikel wollen wir versuchen, dieses Problem und die kontra-intuitiv anmutende Lösung unseren Lesern ein wenig näher zu bringen.
Das Monty-Hall-Problem (oder auch das Ziegenproblem)
Sie nehmen an einer Spielshow teil und sollen sich eines von drei Toren aussuchen. Sie gewinnen, was sich hinter diesem Tor befindet. Hinter zwei Toren befindet sich eine Ziege, hinter einem ein Auto. Sie wissen nicht, was hinter welchem Tor ist.
Nachdem Sie ein Tor ausgewählt haben, muss der Moderator (welcher weiß, was sich hinter den Toren befindet) eines von den Toren, welche sie nicht ausgewählt haben, öffnen und zwar eines hinter dem sich eine Ziege befindet.
Danach gibt er Ihnen die Möglichkeit, Ihre Wahl zu ändern oder bei Ihrem ursprünglich gewähltem Tor zu bleiben.
Sollten Sie das Tor wechseln, um die Chance auf das Auto zu erhöhen?
Die Antwort auf diese Frage verwirrt viele Menschen auf den ersten oder zweiten (ja, machmal auch dritten) Blick.
Intuitiv nehmen Viele an, dass es völlig egal ist, ob man das Tor wechselt oder nicht. Schließlich ist hinter einem der beiden Tore eine Ziege und hinter dem anderen das Auto. Die Chancen auf das Auto sollten also so oder so bei fünfzig Prozent liegen.
Aber diese Antwort ist falsch: Es ist immer richtig, zu wechseln und man erhöht seine Chance auf das Auto auf 66,7 Prozent, wenn man – nachdem der Moderator ein Tor geöffnet hat – zum anderen Tor wechselt.
Ganz ohne komplizierte “bedingte Wahrscheinlichkeiten” oder tiefe Stochastik soll diese Lösung hier erklärt werden:
Lösung des Ziegenproblems
Am Anfang des Spiels suchen Sie sich eines der drei Tore aus. Hinter einem der drei Tore steht das Auto und hinter den anderen beiden Ziegen. Deswegen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Sie sich direkt das Tor mit dem Auto aussuchen 33,3 Prozent (ein Drittel). Zu 66,7 Prozent (zwei Dritteln) haben Sie sich ein Tor mit einer Ziege ausgesucht.
Der Einfachheit halber nehmen wir an, Sie haben sich Tor A ausgesucht und Tor B und C bleiben übrig.
Was als Nächstes passiert, unterteilen wir in zwei Fälle – einmal den Fall, dass Sie sich mit Tor A schon das Tor mit dem Auto ausgesucht haben und einmal den Fall, dass sich hinter Tor A eine Ziege befindet:
Fall 1 (33,3 Prozent): Sie haben sich das Tor mit dem Auto ausgesucht.
Hinter den anderen beiden Toren befinden sich Ziegen.
Nun macht der Moderator irgendeines der beiden anderen Tore mit der Ziege auf.
Wenn Sie jetzt wechseln, landen Sie definitiv bei einer Ziege, denn das Auto ist ja hinter Ihrem schon ausgesuchten Tor.
Fall 2 (66,7 Prozent): Sie haben sich ein Tor mit einer Ziege ausgesucht.
Hinter einem der anderen Tore befindet sich eine Ziege, hinter dem anderen das Auto.
Wieder macht der Moderator eines der anderen Tore auf. Welches Tor darf er jetzt überhaupt aufmachen?
Ihr Tor A darf der Moderator nicht anrühren (die Spielregeln besagen, er öffnet “eines von den Toren, welche Sie nicht ausgewählt haben”).
Also darf der Moderator nur Tor B oder C aufmachen. Aber hier hat der Moderator gar keine Wahl, denn hinter einem der Tore B oder C ist das Auto und dieses Tor darf er auch nicht aufmachen (die Spielregeln besagen “(...) und zwar eines hinter dem sich eine Ziege befindet”).
Macht der Moderator also Tor B mit einer Ziege auf, muss hinter Tor C das Auto sein (hinter Ihrem Tor kann es nicht sein, denn in dem hier betrachteten Fall haben Sie sich ja ein Tor mit Ziege ausgesucht). Öffnet der Moderator hingegen Tor C mit einer Ziege, muss hinter Tor B das Auto sein.
Wenn Sie jetzt wechseln landen Sie deswegen mit Sicherheit beim Auto.
Jetzt müssen wir nur noch die beiden Fälle zusammen betrachten:
- Fall 1, Sie haben sich zufällig direkt für das Auto entschieden: Dies passiert in 33,3 Prozent der Fälle. Wenn Sie wechseln, gewinnen Sie kein Auto.
- Fall 2, Sie haben sich mit Ihrer ersten Wahl eine Ziege ausgesucht: Dies passiert in 66,7 Prozent der Fälle. Wenn Sie wechseln, gewinnen Sie unter Garantie ein Auto.
Wechseln ist also immer genau dann richtig, wenn Sie sich ursprünglich ein Tor mit einer Ziege ausgesucht haben. Da dies in zwei Dritteln aller Fälle passieren wird (zwei Ziegen, drei Tore), führt das Wechseln des Tores in zwei Dritteln aller Fälle (66,7 Prozent) zum Gewinn des Autos.
Auf Ihrer Wahl beharren ist nur richtig, wenn Sie sich schon ursprünglich das Tor mit dem Auto ausgesucht haben. Das passiert nur in einem Drittel aller Fälle (ein Auto, drei Tore). Deswegen führt das Beharren auf dem ursprünglich ausgesuchten Tor nur in einem Drittel aller Fälle (33,3 Prozent) zum Gewinn des Autos.
Sprich: Wechseln ist besser als nicht wechseln.
99 Ziegen
Man kann das Monty-Hall-Problem eventuell noch ein wenig instruktiver gestalten, indem man die Zahl der Tore in die Höhe treibt.
Angenommen, bei der Spielshow gibt es gleich 100 Tore und hinter 99 davon steht ein Ziege. Nur hinter einem befindet sich ein Auto. Wieder suchen Sie sich ein Tor aus und der Moderator muss von den anderen Toren 98 (alle bis auf eines) aufmachen hinter denen sich Ziegen befinden.
In 99 Prozent der Fälle werden Sie sich bei Ihrer ersten Wahl für ein Tor mit einer Ziege entschieden haben. Und wenn hinter Ihrem Tor eine Ziege ist, ist der Moderator aufgrund der Spielregeln gezwungen, alle anderen 98 Ziegen-Tore aufzumachen und nur Ihr ursprünglich ausgesuchtes Tor und das Auto-Tor übrig zu lassen.
Damit erhöht das Wechseln in diesem Spiel ihre Sieg-Chancen auf 99 Prozent.
Auf Ihrem ursprünglichen Tor beharren führt nur dann zum Gewinn des Autos, wenn Sie auf Anhieb richtig gewählt haben. Die Chance dafür beträgt grade mal 1 Prozent.
Dieser Artikel erschien auf PokerOlymp am 11.04.2016.
Danke, sehr hilfreicher Beitrag, ich muss demnächst eine Präsentation über das Ziegenproblem halten und verstehe das Thema nur endgültig 🙂