Gewinnraten, Statistiken und Downswings: Teil 2 – Sit-and-Gos
Der Teufel “Varianz” und Sit-and-Gos: Wie viele Turniere muss man spielen, um den Faktor Glück und Pech bei SnGs zu überwinden?Gewinnraten, Statistiken und Downswings
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Im ersten Artikel dieser Serie ging ich auf die Varianz beim No-Limit-Poker ein. Das Ergebnis war frappierend: Die Wahrscheinlichkeit, über einen vergleichsweise langen Zeitraum Verlust zu machen, ist – auch für Spieler mit einer moderaten bis guten Gewinnrate – relativ hoch. Auch über den sehr langen Zeitraum von einer Millionen Händen werden die tatsächlichen Gewinne sehr wahrscheinlich deutlich von dem erwarteten Gewinnen abweichen. Mit anderen Worten: die Varianz spielt beim No-Limit-Poker eine enorme Rolle.
In diesem Artikel will ich die Varianz bei Sit-and-Go-Turnieren beleuchten. Um das Ergebnis vorwegzunehmen: Die Varianz spielt auch bei Sit-and-Gos eine bedeutende Rolle.
Wie auch bei No-Limit-Spielen lässt sich bei Sit-and-Gos die Gewinnrate als normalverteilt approximieren1. Dadurch lassen sich vergleichsweise einfach statische Eigenschaften der zu erwartenden Gewinne über einen längeren Zeitraum modellieren. Im Folgenden gehe ich davon aus, dass die tatsächliche Gewinnrate für ein jeweiliges Turnierformat bekannt ist und will die Frage beantworten, auf welche Ergebnisse man sich langfristig einstellen sollte.
9-Mann Sit-and-Gos
Schauen wir uns ein konkreten Beispiel an: Ein Spieler spielt 9-Mann Sit-and-Gos. In den Turnieren werden 50% des Preispools an den ersten Platz ausgezahlt, 30% an den zweiten und und 20% an den dritten. Der Spieler schlägt diese Turniere auf lange Sicht mit einem ROI (Return On Investment2) von 9%, was – abhängig von der Struktur des Turniers – ein respektabler Wert ist.
Bei einem ROI von 9% gewinnt unser Spieler pro Turnier im Schnitt 0,1 Buy-Ins, bzw. alle zehn Turniere ein Buy-In.
Die Standardabweichung für ein 9-Mann Sit-and-Go unseres Spielers beträgt circa 1,7 Buy-Ins3. Das bedeutet, dass sein tatsächlicher Gewinn pro Turnier im Schnitt um 1,7 Buy-Ins von seinem erwarteten Gewinn abweicht. Diese Größe ergibt natürlich für ein einzelnes Turnier wenig Sinn, aber für die statistischen Betrachtung mehrerer Turniere ist diese Kenngröße sehr relevant.
Mithilfe dieser Größen lässt sich ermitteln, in welchen Bereichen die Gewinne unseres Spielers nach einer größeren Anzahl gespielter Turniere wahrscheinlich liegen werden.
Folgende Tabelle4 fasst die Ergebnisse für 50 bis 20.000 Turniere zusammen.
| 9-Mann Sit-and-Go, 9% ROI | |||||
| Turniere | 50 | 200 | 1.000 | 5.000 | 20.000 |
| Erwartungswert | 5 | 20 | 100 | 500 | 2.000 |
| Standardabweichung | 12 | 23 | 52 | 117 | 233 |
| 95%-Intervall | -18 … 28 | -27 … 67 | -4 … 204 | 267 … 733 | 1.533 … 2.467 |
| Verlustwahrscheinlichkeit | 33,41% | 19,57% | 2,76% | 0,00% | 0,00% |
Die ZeileErwartungswert gibt den erwarteten Reingewinn in Buy-Ins an, die folgende Zeile die Standardabweichung.
Die Angaben in der Zeile 95%-Intervall beschreiben die Grenzen des Intervalls in denen der Gewinn des Spielers zu 95% liegen wird. So meint zum Beispiel die Angabe “267 … 733”, dass der Gewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% zwischen 267 und 733 Buy-Ins liegen wird.
Die letzte Zeile gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, über den gegebenen Zeitraum Verlust zu machen.
Es zeigt sich, dass unser Spieler mit einem ROI von 9% auch über 1.000 Sit-and-Gos mit einer nicht zu verachtenden Wahrscheinlichkeit Verlust machen kann. Auch über einen sehr langen Zeitraum von 20.000 Sit-and-Gos können seine tatsächlichen Ergebnisse mehr als 400 Buy-Ins von seinem Erwartungswert abweichen.
9-Mann Sit-and-Gos bei geringer Gewinnerwartung
Im folgenden Beispiel betrachten wir einen Spieler, der mit einem ROI von “nur” 4,5% spielt. Die Ergebnisse hier werden beängstigend deutlich: Nach 1.000 gespielten Turnieren macht dieser Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit von fast 17% Verlust, auch nach 5.000 Turnieren liegt diese Wahrscheinlichkeit noch bei 1,6% und sein 95%-Konfidenzintervall liegt zwischen 17 und 483 Buy-Ins:
| 9-Mann Sit-and-Go, 4,5% ROI | |||||
| Turniere | 50 | 200 | 1.000 | 5.000 | 20.000 |
| Erwartungswert | 2 | 10 | 50 | 250 | 1.000 |
| Standardabweichung | 12 | 23 | 52 | 117 | 233 |
| 95%-Intervall | -21 … 26 | -37 … 57 | -54 … 154 | 17 … 483 | 533 … 1.467 |
| Verlustwahrscheinlichkeit | 41,52% | 33,41% | 16,90% | 1,61% | 0,00% |
Um die Varianz von Sit-and-Gos sichtbar zu machen, hier eine Simulation von 10 Spielern mit einem ROI von 10%. Sie spielen alle identisch, das einzige Unterscheidungsmerkmal ist Glück und Pech. Auf der X-Achse sind die gespielten Turniere und auf der Y-Achse die Gewinne in Buy-Ins verzeichnet.
Simulation von zehn Spielern mit einem ROI von 10% – 9-Mann Sit-and-Gos. (je 1.000 Turniere)
Über einen längeren Zeitraum glätten sich die Kurven merklich, doch auch über 5.000 Turniere können die Endergebnisse sehr unterschiedlich ausfallen:
Simulation von zehn Spielern mit einem ROI von 10% – 9-Mann Sit-and-Gos. (je 5.000 Turniere)
27-Mann Sit-and-Gos
Mit mehr Teilnehmern nimmt auch die Varianz bei Sit-and-Gos zu. Nehmen wir als nächstes Beispiel ein Turnier mit 27 Teilnehmern und 6 ausgezahlen Plätzen. Die Auszahlungsstruktur des Turniers hat folgende Gestalt: Platz 1: 38%, 2: 25%, 3: 16%, 4: 10%, 5: 6%, 6: 5%.
Schlägt ein Spieler diese Turniere mit 9% ROI beträgt seine Standardabweichung für ein Turnier circa 2,6 Buy-Ins. Das ist deutlich mehr als die Standardabweichung bei 9-Mann Turnieren. Entsprechend breiter gefächert sind auch die Gewinn-Verteilungen nach einer Vielzahl gespielter Turniere:
| 27-Mann Sit-and-Go, 9% ROI | |||||
| Turniere | 50 | 200 | 1.000 | 5.000 | 20.000 |
| Erwartungswert | 5 | 20 | 100 | 500 | 2.000 |
| Standardabweichung | 18 | 36 | 81 | 182 | 364 |
| 95%-Intervall | -31 … 41 | -53 … 93 | -63 … 263 | 136 … 864 | 1.273 … 2.727 |
| Verlustwahrscheinlichkeit | 39,17% | 29,12% | 10,94% | 0,30% | 0,00% |
Die Erwartungswerte sind mit denen bei einem 9-Mann Sit-and-Go identisch, doch die Standardabweichung ist deutlich höher. Ein Spieler mit einem ROI von 9% bei 27-Mann Sit-and-Gos macht nach 1.000 Turnieren mit einer Wahrscheinlichkeit von über 10% Verlust und auch nach 5.000 Turnieren beträgt diese Wahrscheinlichkeit noch knapp 3 zu 1000.
Entsprechend wild verteilen sich die Gewinnkurven bei einer Simulation:
Simulation von zehn Spielern mit einem ROI von 10% – 27-Mann Sit-and-Gos. (je 1.000 Turniere)
Über 5.000 Turniere ist bei den einzelnen Graphen zwar eine Tendenz erkennbar, aber die Endergebnisse streuen sich sehr weit um den erwarteten Gewinn:
Simulation von zehn Spielern mit einem ROI von 10% – 27-Mann Sit-and-Gos. (je 5.000 Turniere)
Ganz allgemein gilt: Je mehr Teilnehmer an einem (Freeze-Out)-Turnier teilnehmen, desto größer ist die Varianz bei diesem Turnier.
100-Mann Double-or-Nothings
Als letztes Beispiel sollen die Double-Or-Nothing Turniere herhalten. Zwar gehören die Turniere auf PokerStars inzwischen (fast) der Vergangenheit an, dennoch sind sie statistisch nicht uninteressant. In diesen Turnieren wird die Hälfte der Teilnehmer mit dem doppelten Buy-In ausgezahlt, die andere Hälfte geht leer aus. Das klingt nach einer sehr geringen Varianz!
Tatsächlich beträgt die Standardabweichung bei solchen Turnieren ziemlich genau 1 Buy-In. Da man bei den Double-or-Nothing Turnieren entweder ein Buy-In gewinnt oder eines verliert, erscheint diese Größe sogar einleuchtend.
Damit ist die Standardabweichung bei DoNs deutlich niedriger als bei anderen SnGs. Doch leider folgt das “Aber” auf dem Fuße: Auch die Gewinnraten sind bei DoNs im Schnitt niedriger als bei SnGs. Ein ROI von 4 bis 5% ist bei DoNs ein gutes Ergebnis. Im Folgenden sind die zu erwartenden Gewinne, Konfidenzintervalle und Verlustwahrscheinlichkeiten für einen Spieler mit einem ROI von 4,5% aufgelistet.
| 100-Mann Double-or-Nothing, 4,5% ROI | |||||
| Turniere | 50 | 200 | 1.000 | 5.000 | 20.000 |
| Erwartungswert | 3 | 10 | 50 | 250 | 1.000 |
| Standardabweichung | 7 | 14 | 31 | 70 | 140 |
| 95%-Intervall | -12 … 17 | -18 … 38 | -13 … 113 | 110 … 390 | 720 … 1.280 |
| Verlustwahrscheinlichkeit | 36,07% | 23,79% | 5,54% | 0,02% | 0,00% |
Die Turniere haben eine geringere Varianz als Sit-and-Gos, die mit dem gleichen ROI geschlagen werden. Doch auch bei Double-or-Nothing Turnieren liegt die Verlustwahrscheinlichkeit nach 1.000 Turnieren noch bei über 5%.
Die Simulation von 10 DoN-Spielern ergibt folgendes Bild:
Simulation von zehn Spielern mit einem ROI von 5% – 100-Mann Double-or-Nothing. (je 1.000 Turniere)
Simulation von zehn Spielern mit einem ROI von 5% – 100-Mann Double-or-Nothing. (je 5.000 Turniere)
Ergebnisse
Wie schon im vorigen Artikel zeigt sich, dass die Varianz eine sehr große Rolle bei Sit-and-Go Turnieren spielt.
Auch bei Sit-and-Gos gilt: Je niedriger die Gewinnrate (der ROI), desto deutlicher wirkt sich die Varianz aus. Der Grundsatz “Viel hilft viel” gilt ebenso bei Sit-and-Gos. Je mehr Turniere gespielt werden, desto weniger Einfluss hat die Varianz auf das Endergebnis. Doch selbst nach 20.000 gespielten Turnieren wird der tatsächliche Gewinn sehr wahrscheinlich deutlich vom erwarteten Gewinn abweichen.
Im Vergleich zum No-Limit ist die Varianz bei Sit-and-Gos etwas geringer. Dies gilt insbesondere für Turniere mit 9 bis 20 Teilnehmern und einer möglichst langsam eskalieren Blind-Struktur, da bei diesen Turnieren hohe ROIs bei einer moderaten Standardabweichung möglich sind. Super-Turbo-Turniere auf der anderen Seite, bei denen die Edge unter 5% liegt, zeichnen sich durch eine wild ausufernde Varianz aus.
Die folgenden Artikel dieser Serie werden sich mit Downswings auseinandersetzen. Ferner werden die Gründe für eine hohe Varianz beleuchtet und die Frage beantwortet, wie man seine Gewinnrate überhaupt ermitteln kann.
1 Prinzipiell lässt sich jede Verteilung – wenn sie nur häufig genug wiederholt wird – durch eine Normalverteilung beschreiben. Dies ist durch den zentralen Grenzwertsatz begründet. Bei Sit-and-Gos nähert sich die Gewinnverteilung schon bei einer recht geringen Anzahl gespielter Turniere der Normalverteilung an.
2 Der ROI berechnet sich auf folgende Weise: (Durchschnittlicher Gewinn) / (Buy-In + Gebühr). Ein Spieler, der bei einem $10+1 SnG im Schnitt $1 gewinnt, hat also einen ROI von ($1) / ($10 + $1) = 0,0909 ~ 9%.
In den folgenden Überlegungen des Artikels wird die Gebühr eines Turniers nicht weiter erwähnt. In den Berechnungen wird von einer Standardgebühr von 10% bei den SnGs und 8% bei den DoNs ausgegangen. Bezüglich der hier angestellten Betrachtungen hat eine höhere oder niedrigere Gebühr keine Relevanz – sie beeinflusst ausschließlich den ROI.
3 Die Standardabweichung von Sit-and-Gos lässt sich zum Beispiel via Excel recht genau und einfach bestimmen. Man trägt alle möglichen Payouts untereinander ein, wobei man mehrfach vorkommende Werte auch mehrfach einträgt. Vermittels der Funktion STDDEV lässt sich die Standardabweichung bestimmen. Die Gewinnrate hat keine großen Auswirkungen auf die Standardabweichung (so die Gewinnrate keine extremen Werte annimmt) – im weiteren Verlauf des Artikel wurde die Standardabweichung jedoch akkurat unter Berücksichtigung der Gewinnrate berechnet.
4 Die einzelnen Angaben der Tabelle errechnen sich wie folgt:
Der Erwartungswert ist die Anzahl der Turniere multipliziert mit dem Erwartungswert eines einzelnen Turniers.
Die Standardabweichung ist die Wurzel der Anzahl der Turniere multipliziert mit der Standardabweichung eines Turniers.
Die Grenzen 95%-Konfidenzintervalls betragen Erwartungswert ± doppelte Standardweichung.
Die Verlustwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Berechnung der Verteilungsfunktion der Normalverteilung an der Stelle 0.