Unwahrscheinliche Odds beim Texas-Hold’em-Poker
Wie wahrscheinlich ist Set-over-Set, wie oft trifft man einen Bad-Beat-Jackpot, wie wahrscheinlich ist Quads-over-Quads und wie oft bekomme ich Asse direkt hintereinander?
Dieser Artikel betrachtet die etwas unwahrscheinlicheren Ereignisse beim Texas-Hold’em und gibt die Wahrscheinlichkeiten dafür an.
Asse, Könige und Damen
Werfen wir zunächst einen Blick auf die hohen Paare. Asse zum Beispiel bekommt man nicht all zu häufig gedealt. Alle 221 Hände bekommt man diese Hand. Dann und wann kommt es auch vor, dass gleich zwei Spieler Asse bekommen. Im Schnitt alle 154 Mal hat einer der Gegner ebenfalls Asse, wenn man an einem Tisch mit 9 Spielern selbst Asse hält.
Wie häufig tritt man mit Königen gegen Asse an? Weit häufiger, als manche meinen! Hat man 8 Gegner am Tisch, hat jedes 26. Mal einer von ihnen Asse, wenn man Könige hat.
Noch schlimmer ist es mit Damen – bei 8 Gegnern hat jedes 13. Mal einer von ihnen Asse oder Könige auf der Hand.
Folgende Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeiten für einige Ereignisse an. Zusätzlich sind die Odds angegeben, um die kleinen Prozent-Zahlen besser einschätzen zu können. In der letzten Spalte wird auf die Erklärung der Berechnung in den Fußnoten verlinkt.
| Ereignis | Wahrscheinlichkeit | Odds | |
| Preflop Asse bekommen | 0,4525% | 1:220 | B1 |
| Wenn man Asse hat, hat der Gegner ebenfalls Asse (HU-Tisch) | 0,0816% | 1:1.224 | B2 |
| Wenn man Asse hat, hat ein Gegner ebenfalls Asse (9 Spieler) | 0,6512% | 1:153 | B3 |
| Wenn man Könige hat, hat der Gegner Asse (HU-Tisch) | 0,4898% | 1:203 | B4 |
| Wenn man Könige hat, hat ein Gegner Asse (9 Spieler) | 3,8518% | 1:25 | B5 |
| Wenn man Damen hat, hat der Gegner Asse oder Könige (HU-Tisch) | 0,9796% | 1:101 | B6 |
| Wenn man Damen hat, hat ein Gegner Asse oder Könige (9 Spieler) | 7,5732% | 1:12 | B7 |
Sets
Wie oft flopt man ein Set? Diese Wahrscheinlichkeit sollten die meisten ambitionierten Pokerspieler im Kopf haben: in rund 12 Prozent der Fälle trifft man mit einem Paar ein Set im Flop.
Zum gefürchteten Set-Over-Set kommt es auch nicht so selten: Wenn zwei Spieler ein Paar halten und den Flop sehen, dann treffen beide gleichzeitig in rund 1 Prozent aller Fälle ihr Set.
An einem Heads-Up-Tisch sieht man rund alle 40.000 Hände eine Set-Over-Set-Situation. Je mehr Spieler am Tisch sind, desto wahrscheinlicher wird ein solches Ereignis jedoch. An einem 9-Spieler-Tisch sieht man eine Set-Over-Set-Hand auf dem Flop rund alle 1.200 Hände (wenn alle Spieler immer mit ihren Paaren den Flop sehen).
Dass drei Spieler gleichzeitig ein Set am Flop treffen, ist jedoch deutlich unwahrscheinlicher. An einem 9-Spieler-Tisch muss man schon über 160.000 Hände spielen, um so ein Ereignis im Schnitt einmal zu sehen.
| Ereignis | Wahrscheinlichkeit | Odds | |
| Mit einem Paar ein Set im Flop treffen | 11,7551% | 1:8 | B8 |
| Ein Paar bekommen und ein Set treffen | 0,6915% | 1:144 | B9 |
| Wenn zwei Spieler ein Paar haben, treffen beide ein Set im Flop | 1,0176% | 1:97 | B10 |
| Zwei Spieler bekommen ein Paar und treffen ein Set im Flop (HU Tisch) | 0,0024% | 1:42.305 | B11 |
| Zwei Spieler bekommen ein Paar und treffen ein Set im Flop (6 Spieler) | 0,0355% | 1:2.819 | B12 |
| Zwei Spieler bekommen ein Paar und treffen ein Set im Flop (9 Spieler) | 0,0851% | 1:1.174 | B13 |
| Drei Spieler bekommen ein Paar und treffen ein Set im Flop (3 Spieler) | 0,0000% | 1:13.960.821 | B14 |
| Drei Spieler bekommen ein Paar und treffen ein Set im Flop (6 Spieler) | 0,0001% | 1:698.040 | B15 |
| Drei Spieler bekommen ein Paar und treffen ein Set im Flop (9 Spieler) | 0,0006% | 1:166.199 | B16 |
Quads
Quads treffen ist gar nicht so schwer. Mit einem Paar auf der Hand trifft man in rund 0,8 Prozent der Fälle bis zum River Quads. Da ist es schwieriger, vor dem Flop Asse zu bekommen.
Quads über Quads sind jedoch schon deutlich seltener. An einem HU-Tisch zum Beispiel kommt so etwas nur rund alle 11 Millionen Hände vor. An einem Tisch mit 9 Spielern schon wieder etwas häufiger – rund alle 300.000 Hände.
| Ereignis | Wahrscheinlichkeit | Odds | |
| Mit einem Paar Quads bis zum River treffen | 0,8163% | 1:122 | B17 |
| Wenn zwei Spieler ein Paar haben, treffen beide Quads bis zum River | 0,0026% | 1:38.915 | B18 |
| Zwei Spieler bekommen ein Paar und treffen Quads bis zum River (HU Tisch) | 0,00000008% | 1: 11.255.911 | B19 |
| Zwei Spieler bekommen ein Paar und treffen Quads bis zum River (6 Spieler) | 0,0001% | 1:750.393 | B20 |
| Zwei Spieler bekommen ein Paar und treffen Quads bis zum River (9 Spieler) | 0,0003% | 1:312.663 | B21 |
Flushes
Einen Flush floppen ist in etwa so schwer, wie mit einem Paar Quads bis zum River treffen – sprich, es kommt zwar dann und wann mal vor, aber man sollte nicht darauf bauen.
Dass zwei oder drei Spieler einen Flush im Flop treffen, kommt erstaunlich häufig vor, wenn die Spieler immer mit allen gleichfarbigen Karten den Flop sehen. An einem 9-Spieler-Tisch zum Beispiel treffen im Schnitt alle 541 Hände zwei Spieler einen Flush im Flop.
| Ereignis | Wahrscheinlichkeit | Odds | |
| Mit zwei suited Karten einen Flush im Flop treffen | 0,8418% | 1:118 | B22 |
| Wenn zwei Spieler suited Karten haben, treffen beide einen Flush im Flop | 0,4857% | 1:205 | B23 |
| Wenn drei Spieler suited Karten haben, treffen alle drei einen Flush im Flop | 0,2306% | 1:433 | B24 |
| Zwei Spieler bekommen suited Karten und treffen einen Flush im Flop (HU Tisch) | 0,0051% | 1:19.490 | B25 |
| Zwei Spieler bekommen suited Karten und treffen einen Flush im Flop (6 Spieler) | 0,0770% | 1:1.298 | B26 |
| Zwei Spieler bekommen suited Karten und treffen einen Flush im Flop (9 Spieler) | 0,1847% | 1:540 | B27 |
| Drei Spieler bekommen suited Karten und treffen einen Flush im Flop (6 Spieler) | 0,0012% | 1:85.758 | B28 |
| Drei Spieler bekommen suited Karten und treffen einen Flush im Flop (9 Spieler) | 0,0035% | 1:28.585 | B29 |
Pechsträhnen
Der Spieler neben uns beschwert sich – er hat schon über 200 Hände kein einziges Paar preflop bekommen. Klingt das realistisch? Nein! Die Wahrscheinlichkeit dafür liegt bei rund 1 zu 180.000.
Auch wenn jemand jammert, dass er seit 1.000 Händen jedes Paar spielt und kein einziges Set getroffen hat, erzählt der derjenige eine sehr unwahrscheinliche Geschichte. Die Wahrscheinlichkeit, über 1.000 Hände kein Set zu treffen, obwohl man jedes Paar zum Flop bringt, liegt bei unter 0,1%.
| Ereignis | Wahrscheinlichkeit | Odds | |
| Über 50 Hände kein Paar preflop bekommen | 4,8256% | 1:20 | B30 |
| Über 100 Hände kein Paar preflop bekommen | 0,2329% | 1:428 | B31 |
| Über 200 Hände kein Paar preflop bekommen | 0,0005% | 1:184.410 | B32 |
| Über 100 Hände kein Set treffen | 49,9635% | 1:1 | B33 |
| Über 500 Hände kein Set treffen | 3,1136% | 1:31 | B34 |
| Über 1000 Hände kein Set treffen | 0,0969% | 1:1.031 | B35 |
| Über 9 Hände weder ein Ass noch ein Paar preflop bekommen | 17,4226% | 1:5 | B36 |
| Über 25 Hände weder ein Ass noch ein Paar preflop bekommen | 0,7798% | 1:127 | B37 |
| Über 100 Hände weder Buben oder besser, noch Ass-König preflop bekommen | 4,6746% | 1:20 | B38 |
Royal Flushes
Einen Royal Flush bekommt man relativ selten, die meisten Spieler können sich an sämtliche Royal Flushes, die sie je bekommen haben, erinnern.
Aber dass man einen Royal Flush am eigenen Tisch sieht, ist schon wieder deutlich wahrscheinlicher. An einem 9-Mann-Tisch sollte man rund alle 2.500 Hände einen Royal Flush sehen, wenn alle Spieler mit zwei gleichfarbigen Karten über Zehn den Flop sehen.
| Ereignis | Wahrscheinlichkeit | Odds | |
| Das Board zeigt einen Royal Flush | 0,0002% | 1:649.739 | B39 |
| Das Board zeigt auf dem River 3 Karten zu einem Royal Flush | 1,6637% | 1:59 | B40 |
| Ein Spieler macht einen Royal Flush (9 Spieler am Tisch) | 0,0276% | 1:3.628 | B41 |
| Über 100 Hände mindestens einen Royal Flush am Tisch sehen (9 Spieler am Tisch) | 2,7184% | 1:36 | B42 |
| Über 2500 Hände mindestens einen Royal Flush am Tisch sehen (9 Spieler am Tisch) | 49,7922% | 1:1 | B43 |
| Über 100 Hände zwei oder mehr Royal Flushes am Tisch sehen (9 Spieler am Tisch) | 0,0369% | 1:2.708 | B44 |
Bad-Beat-Jackpots
Viele Live- und Online-Anbieter lassen sogenannte Bad-Beat-Jackpots in ihren Spielen laufen. Verliert man mit einer besonders starken Hand, bekommt man einen signifikanten Anteil dieses Jackpots.
Viele Bad-Beat-Jackpots haben folgende Bedingung: Man muss mit Quad-Achten oder besser verlieren und sowohl der Verlierer als auch der Sieger der Hand müssen beide Hole-Cards benutzen. Der Mathematiker Brian Alspach hat in einer ziemlich umfangreichen Rechnung die genauen Wahrscheinlichkeiten für diese Art von Bad-Beat-Jackpot ausgerechnet.
| Ereignis | Wahrscheinlichkeit | Odds | |
| Quads-Achten oder besser treffen und verlieren (HU-Tisch) | 0,0000% | 1:6.974.878 | B45 |
| Quads-Achten oder besser treffen und verlieren (6 Spieler) | 0,0002% | 1:464.991 | B46 |
| Quads-Achten oder besser treffen und verlieren (9 Spieler) | 0,0005% | 1:193.746 | B47 |
| Über 1000 Hände so einen Bad Beat am Tisch sehen (9 Spieler) | 0,5148% | 1:193 | B48 |
| Über 100.000 Hände so einen Bad Beat am Tisch sehen (9 Spieler) | 40,3180% | 1:1 | B49 |
Hintereinander
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, am selben Tisch direkt hintereinander exakt die selben Karten preflop zu bekommen? Nicht sonderlich hoch: weniger als 0,1% für eine einzelne Hand.
Spielt man jedoch ein paar hundert oder tausend Hände, wird dieses Ereignis immer wahrscheinlicher. Rund alle eintausend Händen sollte einem derartiges passieren.
Um zweimal hintereinander Asse zu bekommen, muss man im Schnitt 34.000 Hände spielen.
| Ereignis | Wahrscheinlichkeit | Odds | |
| Über 100 Hände mindestens einmal exakt die gleichen Karten hintereinander preflop bekommen | 7,1968% | 1:13 | B50 |
| Über 1000 Hände mindestens einmal exakt die gleichen Karten hintereinander preflop bekommen | 52,9368% | 1:1 | B51 |
| Über 100 Hände mindestens zweimal Asse direkt hintereinander bekommen | 0,2016% | 1:495 | B52 |
| Über 1000 Hände mindestens zweimal Asse direkt hintereinander bekommen | 2,0157% | 1:49 | B53 |
| Über 34.000 Hände mindestens zweimal Asse direkt hintereinander bekommen | 49,9927% | 1:1 | B54 |
Glückssträhnen
Wer schon etwas häufiger gespielt hat, kennt das Phänomen von Glückssträhnen: Man setzt sich an den Tisch und wird in wenigen Orbits mit guten Karten nur so zugekleistert. Hier einige Wahrscheinlichkeiten dazu:
| Ereignis | Wahrscheinlichkeit | Odds | |
| Über 9 Hände mindestens zweimal Asse preflop bekommen | 0,0722% | 1:1.385 | B55 |
| Über 9 Hände mindestens dreimal Asse preflop bekommen | 0,0008% | 1:131.144 | B56 |
| Über 9 Hände mindestens zweimal Asse oder Könige preflop bekommen | 0,2826% | 1:353 | B57 |
| Über 9 Hände mindestens zweimal Buben oder besser oder Ass-König preflop bekommen | 2,8448% | 1:34 | B58 |
| Über 100 Hände mindestens 10 Mal Buben oder besser oder Ass-König preflop bekommen | 0,0911% | 1:1.097 | B59 |
| Über 100 Hände mindestens 5 Sets treffen | 0,0690% | 1:1.447 | B60 |
Wege das Deck zu mischen
Zum Abschluss noch ein paar Zahlen zum Mischen: In einem Heads-Up-Spiel gibt es über 1,4 Billionen unterschiedliche Deals. Mit mehr Spielern nimmt diese Zahl noch deutlich zu. Bei 9 Spielern sind es bereits fast eine Quadrilliarde unterschiedliche Deals – das ist eine Eins mit 27 Nullen.
Übertroffen wird diese Zahl nur noch von den verschiedenen Möglichkeiten, das gesamte Deck zu mischen. Das ist am Ende eine Zahl mit 68 Dezimalstellen.
| Ereignis | Möglichkeiten | |
| Anzahl unterschiedlicher Deals im Heads-Up | 1.390.690.501.200 | B61 |
| Anzahl unterschiedlicher Deals im 6-Max | 1.411.633.731.355.660.000.000 | B62 |
| Anzahl unterschiedlicher Deals im 9-Max | 874.314.668.608.292.000.000.000.000 | B63 |
| Anzahl Möglichkeiten das Deck zu mischen | 80.658.175.170.943.900.000.000.000.000.000.000.000 000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 | B64 |
Sämtliche in obigen Tabellen angegebenen Wahrscheinlichkeiten gelten unter der Bedingung, dass die involvierten Spieler erst dann folden, wenn sie mit ihrer Hand das gegebene Ereignis nicht mehr erreichen können.
Berechnungen
1 6/52c2
2 1/50c2
3 1 – ( (50c2 – 1) / 50c2 )^8
4 6/50c2
5 1 – ( (50c2 – 6) / 50c2 )^8
6 12/50c2
7 1 – ( (50c2 – 12) / 50c2 )^8
8 1 – 48c3 / 50c3
9 13 * 6 / 52c2 * (1 – 48c3 / 50c3)
10 2 * 2 * 46 / 48c3
11 13c3 * 4^3 / 52c3 * 9 / 49c2 * 6/47c2
12 13c3 * 4^3 / 52c3 * 6c2 * 9 / 49c2 * 6/47c2
13 13c3 * 4^3 / 52c3 * 9c2 * 9 / 49c2 * 6/47c2
14 13c3 * 4^3 / 52c3 * 9 / 49c2 * 6 / 47c2 * 3 / 45c2
15 13c3 * 4^3 / 52c3 * 6c3 * 9 / 49c2 * 6 / 47c2 * 3 / 45c2
16 13c3 * 4^3 / 52c3 * 9c3 * 9 / 49c2 * 6 / 47c2 * 3 / 45c2
17 48c3 / 50c5
18 44 / 48c5
19 13c2 * ( 4c2)^2 * 44 / 52c5 * 2 / 47c2 * 1 / 45c2
20 13c2 * ( 4c2)^2 * 44 / 52c5 * 6c2 * 2 / 47c2 * 1 / 45c2
21 13c2 * ( 4c2)^2 * 44 / 52c5 * 9c2 * 2 / 47c2 * 1 / 45c2
22 11c3 / 50c3
23 9c3 / 48c3
24 7c3 / 46c3
25 13c3 * 4 / 52c3 * 10c2 / 49c2 * 8c2 / 47c2
26 13c3 * 4 / 52c3 * 6c2 * 10c2 / 49c2 * 8c2 / 47c2
27 13c3 * 4 / 52c3 * 9c2 * 10c2 / 49c2 * 8c2 / 47c2
28 13c3 * 4 / 52c3 * 6c2 * 10c2 / 49c2 * 8c2 / 47c2 * 6c2 / 45c2
29 13c3 * 4 / 52c3 * 9c2 * 10c2 / 49c2 * 8c2 / 47c2 * 6c2 / 45c2
30 ( 1 – ( 13 * 6 ) / 52c2 )^50
31 ( 1 – ( 13 * 6 ) / 52c2 )^100
32 ( 1 – ( 13 * 6 ) / 52c2 )^200
33 ( 1 – 13 * 6 / 52c2 * (1 – 48c3 / 50c3) )^100
34 ( 1 – 13 * 6 / 52c2 * (1 – 48c3 / 50c3) )^500
35 ( 1 – 13 * 6 / 52c2 * (1 – 48c3 / 50c3) )^1000
36 ((1326 – 13 * 6 – 13 * 16)/1326)^9
37 ((1326 – 13 * 6 – 13 * 16)/1326)^25
38 ((1326 – 3 * 6 – 16)/1326)^100
39 4 / 52c5
40 5c3 * 47c2 * 4 / 52c5
41 4 / 52c5 + 5 * 4 * 47 / 52c5 * 9 * 45 / 47c2 + 5c3 * 47c2 * 4 / 52c5 * 9 * 1 / 47c2
42 1 – ( 1- prob. Above)^100
43 1 – ( 1- prob. Above)^2500
44 1 – BinomDist(1;100;prob. Above)
45 siehe Brian Alspach
46 siehe Brian Alspach
47 siehe Brian Alspach
48 1 – ( 1- prob. Above)^1000
49 1 – ( 1- prob. Above)^100000
50 1 – (1325 / 52c2)^(100-1)
51 1 – (1325 / 52c2)^(1000-1)
52 siehe Brian Alspach
53 siehe Brian Alspach
54 siehe Brian Alspach
55 BinomDist(7;9;(1326 – 6) / 1326;1)
56 BinomDist(6;9;(1326 – 6) / 1326;1)
57 BinomDist(7;9;(1326 – 2 * 6) / 1326;1)
58 BinomDist(7;9;(1326 – 4 * 6-16) / 1326;1)
59 BinomDist(90;100;(1326 – 4 * 6-16) / 1326;1)
60 BinomDist(95;100;1 – 13 * 6 / 52c2 * (1 – 48c3 / 50c3);1)
61 52c5 * 47c4 * 3 * 1
62 52c5 * 47c12 * 11 * 9 * 7 * 5 * 3 * 1
63 52c5 * 47c20 * 17 * 15 * 13 * 11 * 9 * 7 * 5 * 3 * 1
64 52!