Ein einfaches kleines Matheproblem

/ Während ich über Konzepte nachdachte, die in Turnieren, aber nicht im Cashgame anwendbar sind, realisierte ich, dass ein einfaches kleines Matheproblem zwei unterschiedliche Aspekte des Turnierspiels beleuchten würde.

Der eine hat mir der Frage zu tun, ob man es vermeiden sollte, am Anfang des Turniers Bets zu callen, obwohl die Odds knapp zu unseren Gunsten sind, falls der Call die Wahrscheinlichkeit eines Ausscheidens signifikant erhöht. Diese Frage ist natürlich in No-Limit-Turnieren relevanter, kann aber auch in Limit-Turnieren berechtigt sein.
Es ist allgemein bekannt, dass man diese knappen Calls gegen Ende des Turniers aufgrund der Art der Preisstruktur vermeiden sollte. Einige wenige Chips können einen großen Unterschied im Preisgeld bedeuten. Wenn sich große Stacks duellieren, können es diese wenigen Chips ermöglichen, in der Rangliste nach oben zu rücken.
Dieser Faktor ist aber zu Beginn des Turniers irrelevant. Trotzdem könnte es richtig sein, bestimmte knappe Situationen zu vermeiden, wenn Sie einer der besten Spieler im Turnier sind. In diesem Fall könnten Sie einwenden, dass Sie bei einem Ausscheiden nicht nur Ihre Chips, sondern auch die Möglichkeit, länger mit Ihrer höheren Spielstärke zu spielen, verlieren. Ist dieses Argument stichhaltig? Kann es jemals richtig sein, gute Odds auszuschlagen?

Etwas anderes, das sich in Turnieren, aber fast nie im Cashgame ergibt, ist die Situation, in der man einen winzigen Stack hat und in ein oder zwei Händen den Big Blind bezahlen muss. Nehmen wir als extremes Beispiel an, dass Sie genau $100 übrig haben und UTG sitzen, während der Big Blind $100 beträgt. Falls Sie in einem Cashgame kein weiteres Geld mehr in Ihren Taschen hätten, würde ich hoffen, dass Sie sich entscheiden, ob Sie diese Hand spielen oder nicht, und bei einem Fold dann das Spiel verlassen, statt den Big Blind zu posten. Das können Sie aber natürlich im Turnier nicht machen. Wenn Sie jetzt folden, sind Sie in der nächsten Hand mit zwei zufälligen Karten zum All-In gezwungen. Sollte das Ihre Entscheidung für die aktuelle Hand ändern?

Viele Spieler raten in einer derartigen Situation, eine Position vor den Blinds, jede Hand, die besser als der Durchschnitt ist, zu spielen. Das würde viele Hände, die Sie normalerweise nicht in Betracht ziehen würden, einschließen (wie beispielsweise

in Hold’em oder

bei Lowball Draw).

Andere wiederum sagen, dass Sie Ihre Starthände nicht ändern sollten, nur weil Sie gezwungen sind, die nächste Hand zu spielen.
Überraschenderweise gibt es ein nettes kleines Matheproblem, das eine ausgezeichnete Richtlinie für die zwei obigen trickreichen Situationen liefert.
Nehmen wir an, Sie besitzen $100 – zumindest für die nächsten Tage. Morgen spielen Sie ein Golfmatch um diese $100. Sie wissen, dass Ihre Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, X beträgt. Das bedeutet, dass der erwartete Geldbetrag in Ihrer Tasche nach Beendigung des Matches $200X ist.
Nehmen wir nun aber an, dass Ihnen jemand für heute eine Wette anbietet. Er möchte ebenfalls um Ihre gesamte Bankroll von $100 wetten. Und Ihre Chancen, diese Wette zu gewinnen, sind Y. Die Sache ist nur die, dass Sie, wenn Sie diese Wette eingehen und verlieren, das Angebot für die morgige Wette ausschlagen müssen. (Falls Sie heute gewinnen, können Sie morgen weiterhin um $100 spielen.) Ihr Golffreund wäre damit einverstanden, die morgige Wette abzusagen, wenn Sie heute wetten und verlieren. Sollten Sie die heutige Wette eingehen?
Um das herauszufinden, müssen wir den Erwartungswert Ihrer Bankroll betrachten, sollten Sie das heutige Wettangebot annehmen. Wenn Sie die erste Wette verlieren, sind Sie pleite. Wenn Sie sie aber gewinnen, dann werden Sie morgen entweder gewinnen oder verlieren. Ihre Bankroll wird dann am Ende entweder $300 oder $100 betragen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von YX werden Sie $300, und mit einer Wahrscheinlichkeit von Y(1-X) werden Sie $100 haben, wobei (1-X) die Wahrscheinlichkeit ist, die morgige Golfwette zu verlieren.
Ihr gesamter Erwartungswert beträgt daher $200YX + $100Y. Falls Sie beispielsweise die heutige Wette zu 70% gewinnen und morgen zu 60%, dann wäre Ihre Erwartung

($200) (0,70) (0,60) + ($100) (0,70) = $154.

Das ist offensichtlich ein besseres Ergebnis, als wenn Sie auf die heutige Wette verzichten und nur morgen spielen. Der Erwartungswert für die eine Wette ist nur $200X (in diesem Fall also $120).
Was wir wissen müssen, ist, wie hoch Y, die Wahrscheinlichkeit, die erste Wette zu gewinnen, sein muss, damit wir die Wette eingehen sollten. Mit anderen Worten, wie groß muss Y sein, damit der Erwartungswert beider Wetten größer ist als der Erwartungswert der alleinigen zweiten Wette ($200X). Um das herauszufinden, bilden wir einen Gleichung, in der wir die beiden Erwartungswerte gleichsetzen und nach Y auflösen:

$200YX + $100Y = $200X
2YX + Y = 2X
Y(2X+1) = 2X
Y = 2X / (2X+1)

Diese Gleichung verrät uns, wie groß Y genau sein muss, damit die Entscheidung, ob man die erste Wette eingeht, break-even ausfällt. Bei allen Wahrscheinlichkeiten, die größer sind, sollte man das erste Wettangebot annehmen.
Was zeigt uns dieses Ergebnis? Nehmen wir an, Sie sind bei der morgigen Golfwette 4-zu-1-Favorit. Das sind 80 Prozent oder 0,8. Bei Anwendung der Formel

Y = 2X / (2X+1)

erkennt man, dass Sie die heutige Wette nicht eingehen sollten, solange Sie nicht mindestens 1,6/2,6 Chancen haben, also ungefähr 62%-Favorit sind. Hmmm. Das ist interessant. Es scheint so, als ob Sie heute tatsächlich gute Wettangebote ausschlagen sollten, wenn Sie damit die morgige 80%-Chance aufs Spiel setzen. Es ist aber nicht notwendig, dass die heutige Wette genauso vorteilhaft wie die morgige ist, um sie einzugehen. Hier ist eine Tabelle:

Man beachte als erstes, dass man heute mit einer 2/3-Gewinnchance spielen würde, selbst wenn man morgen „die Nuts“ hielte. Das sollte einleuchtend sein. Wenn Sie gewinnen, machen Sie weitere $100. Falls Sie verlieren, kostet es Sie $200, die Sie hätten, wenn Sie heute nicht spielten. Sie müssen also 2-zu-1-Favorit sein.

Im Endeffekt sollten Sie tatsächlich knapp profitable Wetten heute ausschlagen, wenn Sie damit die zweite Wette aufs Spiel setzen. Diese Wetten, die Sie ausschlagen, sind aber relativ knapp. Das gleiche gilt für Entscheidungen in der Anfangsphase von Turnieren, wenn Sie einer der besten Spieler sind. (Falls Sie das nicht sind, könnten Sie, analog zur Tabelle, wenn Sie eine morgige 50/50-Chance haben, in jeder Situation, in dem Sie nicht hinten liegen, mitspielen.)

Betrachten wir nun, was passiert, wenn die morgige Wette nachteilig ist. Da es einen mathematischen Vorteil bedeutet, jene Wette nicht eingehen zu müssen (so seltsam es erscheint, wenn man bedenkt, dass Sie die morgige Wette nur dann nicht eingehen werden, wenn Sie heute pleite gehen), macht es Sinn, heute ein schlechtes Wettangebot anzunehmen. Nur muss die heutige Wette weniger schlecht als die morgige sein.

Das ist analog zu der Situation, in der man gleich im Big Blind ist. Diejenigen, die sagen, dass man gegenüber seinem normalen Spiel looser werden sollten, haben also tatsächlich recht. Sie liegen aber nicht richtig, wenn sie behaupten, dass man jede Hand, die besser als der Durchschnitt ist, spielen sollte. Die Tabelle macht das klar. Und mein Buch Tournament Poker for Advanced Players macht es noch klarer.

David Sklansky